到 $S^1$ 的 $p$-调和映射与余维 2 的平稳 Varifold

我们研究从紧流形 $M^n$ 到 $S^1$ 的平稳 $p$-调和映射 $u_p\in W^{1,p}(M,S^1)$ 当 $p\uparrow 2$ 时的渐近行为，其满足自然能量增长条件 $$\int_M|du_p|^p=O(\frac{1}{2-p}).$$ 沿子列 $p_j\to 2$，我们证明奇异集 $Sing(u_{p_j})$ 收敛到密度为 $\Theta_{n-2}(\|V\|,\cdot)\geq 2\pi$ 的平稳、可整流 $(n-2)$-varifold $V$ 的支撑集，该 $V$ 由测度 $$\mu=\lim_{j\to\infty}(2-p_j)|du_{p_j}|^{p_j}dv_g$$ 的集中部分给出。当 $n=2$ 时，我们进一步证明 $\|V\|$ 的密度取值于 $2\pi\mathbb{N}$。最后，在任意维数 $n\geq 2$ 的紧流形上，我们通过自然极小极大构造给出此类映射的非平凡族 $(1,2)\ni p\mapsto u_p\in W^{1,p}(M,S^1)$ 的实例。