分支过程临界点处后代数量的超线性标度

对于任何分支过程，我们证明了在任意足够大的时间窗口 $\tau$ 内，所有代际触发的典型事件总数 $r_{\rm mp}(\nu \tau)$ 在临界点处表现出对以泊松速率 $\nu$ 到达的移民总数 $\nu \tau$ 的超线性依赖关系 $r_{\rm mp}(\nu \tau) \sim (\nu \tau)^\gamma$（其中 $\gamma >1$）。在移民（或源）的繁殖力分布具有渐近幂律尾且尾指数 $1 < \gamma \leqslant 2$ 的分支过程中，$r_{\rm mp}(\nu \tau)$ 的超线性律指数与繁殖力分布的指数 $\gamma$ 相同。对于 $\gamma>2$ 以及没有幂律繁殖力分布的标准分支过程，$r_{\rm mp}(\nu \tau) \sim (\nu \tau)^2$。这一新的标度律取代并抑制了当分支比（定义为每个源触发的第一代事件的平均数量）趋于 1 时，平均事件总数 ${\bar R}_t(\tau)$ 的发散 $\nu \tau/(1-n)$。推导使用了生成概率函数的形式体系。相应的预测得到了数值计算的证实，一种启发式推导阐明了其 underlying mechanism。我们还表明，即使在临界点 ($n=1$)，${\bar R}_t(\tau)$ 也始终与 $\nu \tau$ 呈线性关系。因此，我们的结果说明了由少数极罕见实现控制的平均总数与由 $r_{\rm mp}(\nu \tau)$ 代表的典型行为之间的根本差异。