带移民的重尾临界分支过程总体的精确大偏差

我们关注带移民的临界分支过程 $\{X_{n}\}$ 的部分和 $S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}$，其中后代 $\xi$ 的正则变化指数为 $\nu+1$，移民 $\eta$ 的正则变化指数为 $\delta$ $(0\leq \nu<\delta<1)$。本文确定了 $S_{n}$ 的精确大偏差概率，即对于某些适当的序列 $\{x_{n}\}$ 和 $\{y_{n}\}$，在 $x_{n}\leq x\leq y_{n}$ 范围内一致成立 $P(S_{n}>x)\sim nx^{-\delta/(1+\nu)}L(x)$，其中 $L(x)$ 是一个慢变化函数。与次临界情况不同，这里需要上界 $y_n$。本质上，这是因为在次临界情况下，平稳分布的尾部概率由后代或移民决定；但在临界过程中，它由两者共同决定。