重尾亚临界分支过程总人口的精确大偏差

本文聚焦于在离散分支过程带 immigration 的亚临界情形下，对部分和 $S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}$ 的大偏差问题。具体分析当离散分支过程中的一个 offspring $\xi$ 或 immigration $\eta$ 为常数可测函数时所产生的情形。$S_n$ 的尾分布严重依赖于 $\xi$ 与 $\eta$ 的分布形状，本文给出 $S_n$ 的精确大偏差概率。具体而言：(i) 当 offspring $\xi$ 的尾部比 immigration $\eta$ 更轻时，对所有 $x\geq x_{n}$，都有 $P(S_{n}-ES_{n}>x)\sim c_{1}nP(\eta>x)$，其中 $c_{1}$ 仅与 offspring 的均值有关；(ii) 当 immigration $\eta$ 的尾部不比 offspring $\xi$ 更重时，对所有 $x\geq x_{n}$，都有 $P(S_{n} ES_{n}>x)\sim c_{2}nP(\xi>x)$，其中 $c_{2}$ 与 offspring 的均值和 immigration 的均值都有关。