变环境中带移民分支过程达到固定水平的时间

考虑变环境中带移民的分支过程 $\{Z_n\}_{n\ge 0}$。对 $a\in\{0,1,2,...\},$ 令 $C=\{n\ge0:Z_n=a\}$ 为该过程种群规模达到水平 $a$ 的时刻集合。我们给出判定集合 $C$ 有限与否的准则。对临界 Galton-Watson 过程，我们证明 $|C\cap [1,n]|/\log n\rightarrow S$ 依分布成立，其中 $S$ 为指数分布随机变量，满足 $P(S>t)=e^{-t},\ t>0$。