带有中性泊松突变的分裂树 II：最大与最古老家族

我们考虑一个超临界分支群体，其中个体具有独立同分布的寿命持续时间（不必服从指数分布）并以恒定速率（单次）生育。我们假设个体在生命周期内以恒定速率 $\theta$ 独立经历中性突变，在无限等位基因假设下：每个突变瞬间赋予其携带者一个全新的类型，称为等位基因或单倍型。母亲在生育时携带的类型会传递给新生儿。我们关注的是在存活事件下，当 $t\to\infty$ 时，携带最丰富等位基因或最古老等位基因的克隆家族在时间 $t$ 的规模和年龄。直观上，结果必然取决于突变率 $\theta$ 和马尔萨斯参数 $\alpha>0$ 的比较。此后，$N\equiv N_t$ 为时间 $t$ 的群体规模，常数 $a,c$ 为标度常数，而 $k,k'$ 为取决于模型参数的显式正常数。当 $\alpha>\theta$ 时，最丰富的家族也是最古老的，其规模为 $cN^{1-\theta/\alpha}$，年龄为 $t-a$。当 $\alpha<\theta$ 时，最古老的家族年龄为 $(\alpha /\theta)t+a$，规模紧致；最丰富的家族规模为 $k\log(N)-k'\log\log(N)+c$，且年龄均为 $(\theta-\alpha)^{-1}\log(t)$。当 $\alpha=\theta$ 时，最古老的家族年龄为 $kt-k'\log(t)+a$，规模紧致；最丰富的家族规模为 $(k\log(N)-k'\log\log(N)+c)^2$，且年龄均为 $t/2$。这些非正式的结果可以严格地以期望形式表述。严重依赖于凝聚点过程理论，我们还能够在 $\alpha\leq\theta$ 时，证明最丰富/最古老家族经过适当标度的年龄和规模的联合分布收敛，并将极限指定为某些显式 Cox 过程。