具有中性泊松突变的分裂树 I：小家族

我们考虑一个生物多样性的中性动态模型，其中个体独立地生存和繁殖。它们具有独立同分布的寿命持续时间（不必服从指数分布），并以常数速率$b$（单胎）生育。这样的谱系树通常被称为分裂树，种群计数过程（$N_t;t\ge 0$）是齐次的二叉Crump--Mode--Jagers过程。我们假设个体在其一生中以常数速率$\theta$独立发生突变，在无限等位基因假设下：每次突变瞬间赋予其携带者一个全新的类型，称为等位基因。我们关注时间$t$时的等位基因频谱，即在时间$t$时种群中存在的不同等位基因的数量$A(t)$，更具体地说，是在时间$t$时由$k$个个体代表的等位基因的数量$A(k,t)$，其中$k=1,2,...,N_t$。我们主要使用两类工具：溯祖点过程和按随机特征计数的分支过程。我们在以种群规模为条件的溯祖点过程中提供了$A(k,t)$期望的显式公式，这些公式适用于分裂树的特例。借助随机特征，我们分别推导了$A(k,t)/N_t$和$A(t)/N_t$的几乎必然极限。最后，通过应用一种在树的原点时间随时间倒退时表征树分布动力学的方法，我们分别计算了预期的纯合度，这体现了后向Kolmogorov方程的精神。