在 $\gcd(n,k)=1$ 条件下求解 $\mathbb{F}_{2^n}$ 中的方程 $x^{2^k+1}+x+a=0$

设 $N_a$ 为方程 $x^{2^k+1}+x+a=0$ 在 $\GF {n}$ 中解的个数，其中 $\gcd(k,n)=1$。2004 年，Bluher \cite{BLUHER2004} 已知 $N_a$ 的可能取值仅为 0、1 和 3。2008 年，Helleseth 与 Kholosha \cite{HELLESETH2008} 给出了 $N_a=1$ 的判别准则以及当 $\gcd(k,n)=1$ 时唯一解的显式表达。2014 年，Bracken、Tan 与 Tan \cite{BRACKEN2014} 给出了当 $n$ 为偶数且 $\gcd(k,n)=1$ 时 $N_a=0$ 的判别准则。本文在仅满足 $\gcd(n,k)=1$ 的条件下完全求解了该方程 $x^{2^k+1}+x+a=0$。我们显式计算了 $P_a(x)$ 在 $\GF{n}$ 中的所有可能零点。对于哪些 $a$ 使得 $N_a$ 等于 0、1 或 3 的新判别准则，是我们结果的一个副产品。