有限域$\GF{p^n}$上方程$X^{p^k+1}+X+a=0$的完全解

显式求解有限域$\GF{Q}$上方程$P_a(X):=X^{q+1}+X+a=0$的问题，其中$Q=p^n$，$q=p^k$，$p$为素数，出现在许多不同背景下，包括有限几何、逆Galois问题\cite{ACZ2000}、具有Singer参数的差集构造\cite{DD2004}、确定$m$-序列间的互相关\cite{DOBBERTIN2006}、构造纠错码\cite{Bracken2009}、密码学APN函数\cite{BTT2014,Budaghyan-Carlet_2006}、设计\cite{Tang_2019}，以及加速用于计算有限域\cite{GGGZ2013,GGGZ2013+}和代数曲线\cite{M2014}上离散对数的指标微积分方法。随后，在\cite{Bluher2004,HK2008,HK2010,BTT2014,Bluher2016,KM2019,CMPZ2019,MS2019,KCM19}中，对$P_a(X)$的$\GF{Q}$-零点进行了研究。在\cite{Bluher2004}中，证明了$P_a(X)$在$\GF{Q}$中零点个数的可能取值为$0$、$1$、$2$或$p^{\gcd(n, k)}+1$。在\cite{HK2008,HK2010,BTT2014,KM2019,MS2019}中找到了关于$P_a(x)$的$\GF{Q}$-零点个数的若干判据。然而，尽管最终目标是显式给出所有$\GF{Q}$-零点，即使在$p=2$的情形下，也仅在条件$\gcd(n, k)=1$下得到解决\cite{KM2019}。本文在无任何关于$p$和$\gcd(n,k)$限制的情形下讨论该方程。在\cite{KCM19}中，对于具有一个或两个$\GF{Q}$-零点的情形，给出了这些有理零点关于$a$的显式表达式，但对于具有$p^{\gcd(n, k)}+1$个$\GF{Q}$-零点的情形，显式计算零点仍属开放问题。本文解决了剩余问题，从而现在有限域$\GF{p^n}$上的方程$X^{p^k+1}+X+a=0$已对任意素数$p$、任意整数$n$和$k$完全求解。