与对角方程相关的全方程的解

设 $p$ 为素数，$m$ 为正偶数，$\mathbb{F}_q$ 为具有 $q = p^m$ 个元素的有限域。在本文中，当系数和指数满足特定算术条件，从而便于通过纯 Gauss 和进行计算时，我们计算了对角方程 $$a_1 x_1^{d} + \dots + a_s x_s^{d} = b, \quad a_i \in \mathbb{F}_q^*, \, b \in \mathbb{F}_q,$$ 的所有坐标均在 $\mathbb{F}_q^*$ 中的解的个数。然后，我们应用此结果来确定如下形式方程的解的个数：$$a_1 x_1^{d_{1,1}} \cdots x_n^{d_{n,1}} + \dots + a_s x_1^{d_{1,s}}\cdots x_n^{d_{n,s}} = b,$$ 其中所有指数均为正，且该方程以特定方式与具有上述特征的对角方程相关。