有限域上对角三次方程的解数

设 $\mathbb{F}_q$ 为含 $q=p^k$ 个元素的有限域。对任意 $z\in \mathbb{F}_q$，令 $A_n(z)$ 与 $B_n(z)$ 分别表示方程 $x_1^3+x_2^3+\cdots+x_n^3=z$ 与 $x_1^3+x_2^3+\cdots+x_n^3+zx_{n+1}^3=0$ 的解的个数。近来，Hong 与 Zhu 利用 $\mathbb{F}^{\ast}_q$ 的生成元给出了生成函数 $\sum_{n=1}^{\infty}A_n(z)x^n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}B_n(z)x^n$。本文中，我们由系数 $z$ 直接给出生成函数 $\sum_{n=1}^{\infty}A_n(z)x^n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}B_n(z)x^n$。此外，我们给出了方程 $a_1x_1^3+a_2x_2^3+a_3x_3^3=0$ 解数的公式，且我们的公式由系数 $a_1,a_2$ 与 $a_3$ 直接确定。这些推广并改进了早前结果。