关于有限域上对角三次形式的零点个数

设 ${\mathbb F}_q$ 为含 $q=p^k$ 个元素的有限域，其中 $p$ 为素数，$k$ 为正整数。对任意 $y, z\in\mathbb{F}_q$，令 $N_s(z)$ 与 $T_s(y)$ 分别表示 $x_1^{3}+\cdots+x_s^3=z$ 与 $x_1^3+\cdots+x_{s-1}^3+yx_s^3=0$ 的零点个数。Gauss 证明：若 $q=p, p\equiv1\pmod3$ 且 $y$ 为非立方元，则 $T_3(y)=p^2+\frac{1}{2}(p-1)(-c+9d)$，其中 $c$ 与 $d$ 由 $4p=c^2+27d^2,~c\equiv 1 \pmod 3$ 唯一确定（除 $d$ 的符号外）。1978 年，Chowla、Cowles 与 Cowles 确定了 $2$ 为 ${\mathbb F}_p$ 中非立方元情形下的 $d$ 的符号。但剩余情形即 $2$ 为 ${\mathbb F}_p$ 中立方元时的符号问题仍悬而未决。本文中，我们通过确定 $2$ 为 ${\mathbb F}_p$ 中立方元时 $d$ 的符号解决了该符号问题。进一步，我们证明对任意 $z, y\in\mathbb F_q^*:=\mathbb F_q\setminus \{0\}$（其中 $y$ 在 ${\mathbb F}_q$ 上为非立方元），生成函数 $\sum_{s=1}^{\infty} N_{s}(z) x^{s}$ 与 $\sum_{s=1}^{\infty} T_{s}(y)x^{s}$ 均为有理函数，并给出其显式表达式。这推广了 Myerson 的定理以及 Chowla、Cowles 与 Cowles 的定理。