有限域上对角四次形式的零点个数

设 $\mathbb{F}_q$ 为元素个数 $q=p^m\equiv 1\pmod 4$ 的有限域，其中 $p$ 为奇素数、$m$ 为正整数。对 $c, y \in\mathbb{F}_q$ 且 $y\in\mathbb{F}_q^*$ 非四次，令 $N_n(c)$ 与 $M_n(y)$ 分别为 $x_1^4+...+x_n^4=c$ 与 $x_1^4+...+x_{n-1}^4+yx_n^4=0$ 的零点个数。1979年，Myerson利用Gauss和与指数和证明了生成函数 $\sum_{n=1}^{\infty}N_n(0)x^n$ 是 $x$ 的有理函数并给出了其显式表达。本文利用分圆理论与指数和证明了生成函数 $\sum_{n=1}^{\infty}N_n(c)x^n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}M_{n+1}(y)x^n$ 均为 $x$ 的有理函数，并给出了这些生成函数的显式表达。我们的结果推广了Myerson于1979年所得的定理。