有理对称函数的计算及其在不变量理论与 PI-代数中的应用

设 $f$ 为定义在任意域上、含 $d$ 个变量的形式幂级数，且为可分解为 Schur 函数级数的对称函数；若 $f$ 为有理函数，其分母为形如 $(1 - \text{monomial})$ 的二项式之积。我们利用 Elliott 于 1903 年提出并经 MacMahon 于 1916 年在分区分析（Partition Analysis）中进一步发展的经典组合方法，计算 $f$ 表达式中 Schur 函数重数（即系数）的生成函数。该生成函数亦为有理函数，其分母形式与 $f$ 类似。我们将此方法应用于对称代数中的若干问题，以及经典不变量理论、具多项式恒等式的代数和非交换不变量理论中的相关问题。