Schur 问题及置换表示例外性的有理函数类比
群论
2019-07-30 v1 数论
摘要
1923 年 Schur 考虑了以下问题。设 f(X) 为一个具有整数系数的多项式，它对无穷多个素数 p 在剩余域 Z/pZ 上诱导出一个双射。他的猜想——此类多项式是线性多项式与 Dickson 多项式的复合——由 M. Fried 于 1970 年证明。此处我们研究有理函数的类似问题，并允许基域为任意数域。结果表明，具有类似性质的有理函数要多得多。一些无穷序列来自椭圆曲线的有理同源与形变。存在几个不合于我们所获任何序列的孤立例子。首先我们将算术性质转化为关于有限置换群的问题，并分类满足必要条件的那些群。证明依赖于有限单群分类。随后我们使用算术论证来排除许多情形，或证明剩余情形确实给出例子。这部分基于 Mazur 关于模曲线 X_0(p) 与 X_1(p) 上有理点的经典结果、关于绝对 Galois 群在椭圆曲线 p- torsion 点上作用所导出 GL_2(p) 中 Galois 像的结果、复乘理论，以及正则反 Galois 问题中使用的技巧。
引用
@article{arxiv.math/0201069,
title = {The rational function analogue of a question of Schur and exceptionality of permutation representations},
author = {Robert M. Guralnick and Peter Müller and Jan Saxl},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0201069},
year = {2019}
}
备注
93 pages