有限域上代数簇的有理点计数

令 $\mathbb{F}_q$ 表示具有 $q$ 个元素的特征 $p$ 的有限域 ($q=p^{n},n\in \mathbb{N}$)，$\mathbb{F}_q^*$ 表示 $\mathbb{F}_{q}$ 的非零元素。本文利用Smith正规形给出了由以下方程组在 $\mathbb{F}_{q}$ 上定义的代数簇的有理点个数的显式公式：\begin{align*} {\left\{\begin{array}{rl} &\sum_{i=1}^{r_1}a_{1i}x_1^{e^{(1)}_{i1}} ...x_{n_1}^{e^{(1)}_{i,n_1}} +\sum_{i=r_1+1}^{r_2}a_{1i}x_1^{e^{(1)}_{i1}} ...x_{n_2}^{e^{(1)}_{i,n_2}}-b_1=0,\\ &\sum_{j=1}^{r_3}a_{2j}x_1^{e^{(2)}_{j1}} ...x_{n_3}^{e^{(2)}_{j,n_3}} +\sum_{j=r_3+1}^{r_4}a_{2j}x_1^{e^{(2)}_{j1}} ...x_{n_4}^{e^{(2)}_{j,n_4}}-b_2=0, \end{array}\right.} \end{align*} 其中整数 $1\leq r_1<r_2$, $1\leq r_3<r_4$, $1\le n_1<n_2$, $1\le n_3<n_4$, $n_1\leq n_3$, $b_1, b_2\in \mathbb{F}_{q}$, $a_{1i}\in \mathbb{F}_{q}^{*}$ $(1\leq i\leq r_2)$, $a_{2j}\in \mathbb{F}_{q}^{*}$$(1\leq j\leq r_4)$，且每个变量的指数为正整数。并给出例子验证主要结果。