关于一对丢番图方程

对于互素自然数 $a$ 和 $b$，我们研究两个方程 $ax+by = (a-1)(b-1)/2$ 和 $ax+by+1= (a-1)(b-1)/2$，它们源于分圆多项式的研究。先前工作表明恰有一个方程具有非负解，且该解唯一。我们的第一个结果给出了判定给定数对 $(a,b)$ 使用哪个方程的准则。随后我们利用这些准则研究由若干特殊序列 $(a_n)_{n\geq 1}$ 所得数对 $(a_n/\gcd{(a_n, a_{n+1})}, a_{n+1}/\gcd{(a_n, a_{n+1})})$ 所使用的方程序列。最后，固定 $k \in \mathbb{N}$，我们考察当 $n$ 增大时数对 $(k/\gcd{(k, n)}, n/\gcd{(k, n)})$ 所使用的方程序列的周期性。