一个非线性差分方程的闭式解及 Sroysang 猜想的另一种证明

本文目的有二。首先，我们通过对 $x_n$ 使用适当的变换，从理论上推导了非线性差分方程 $$x_{n+1} = \frac{1}{\pm 1 + x_n},\qquad n\in \mathbb{N}_0$$ 的闭式解。我们注意到，该方程的解形式已于 2013 年由 Tollu 等人通过归纳原理得到，而我们的目的之一是清晰解释该公式是如何以这种结构出现的。随后，利用上述方程的解形式，我们证明了 Sroysang 猜想（2013）的一种情形；即，给定一个固定的正整数 $k$，我们验证了以下断言的有效性：$$\lim_{x \rightarrow \infty}\left\{ \frac{f(x+k)}{f(x)}\right\}= \phi,$$ 其中 $\phi=(1+\sqrt{5})/2$ 表示众所周知的黄金比例，且 $\mathbb{R}$ 上的实值函数 $f$ 对每个 $x\in \mathbb{R}$ 满足函数方程 $f(x+2k)=f(x+k) + f(x)$。我们通过为另一种情形给出完全不同的方法，完成了该猜想的证明。