关于一类特殊的积分

在数学分析领域中，许多反直觉的答案源于对看似无关的概念、思想或函数的操弄。例如，欧拉证明了$e^{i\pi} + 1 = 0$，而高斯证明了$y = e^{-x^2}$下横跨整个实轴的面积为$\sqrt{\pi}$。本文中，我们将确定反常积分的闭式解$$I_n = \int_{0}^{\infty} \frac{\ln{x}}{x^n+1} dx, \ \forall n \in \mathbb{R} \text{, with}\ n > 1.$$确定反常积分的闭式解不仅在于简化类似但更困难积分的求解，也在于通过提高效率来加速答案的数值逼近，具有实际意义。依循我们的计算，推导出公式$$I_n = \int_{0}^{\infty} \frac{\ln{x}}{x^n+1} dx = -\frac{\pi^2}{n^2}\cot{\frac{\pi}{n}}\csc{\frac{\pi}{n}} = -\frac{d}{dn} \Bigg[ \Gamma\Big(1-\frac{1}{n}\Big) \Gamma\Big(\frac{1}{n}\Big) \Bigg].$$