一类可精确求解的本征值问题

在区间 $-\infty<x<\infty$ 上的微分方程本征值问题 $-y''(x)+x^{2N+2}y(x)=x^N Ey(x)$（$N=-1,0,1,2,3,...$）可对全部本征值 $E$ 及相应本征函数 $y(x)$ 以封闭形式求解。本征值均为整数，本征函数均为合流超几何函数。本征函数可改写为多项式与在 $x\to\pm \infty$ 时指数衰减的函数之积。对奇数 $N$，如此所得多项式为新颖且有趣的正交多项式类。例如当 N=1 时，本征函数为 $x^3$ 的正交多项式乘 $x^2$ 的 Airy 函数。我们详述了所有 $N$ 下多项式的性质。