通过定积分 $\int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx$ 进行的可视化巡览

在几何上，$\int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx$ 表示曲线 $\frac{1}{x}$ 从 $a$ 到 $b$ 下方的面积，其中 $0<a<b$，且该面积给出一个正数。利用这一面积论证，我们在本综述性笔记中呈现了一些经典结果的可视化表示。例如，我们展示了关于欧拉极限推广 $\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)}{n}\right)^{n}=e\right)$ 的面积论证。此外，在本文中我们给出了不等式 $b^a < a^b$（其中 $e \leq a< b$）的面积论证，并提供了无穷等比数列的可视化表示。而且，我们证明了欧拉常数 $\gamma\in [\frac{1}{2}, 1)$ 且 $e$ 的值接近于 $2.7$。这篇综述性文章的若干部分已被 Resonance - Journal of Science Education、The Mathematical Gazette 以及 International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 接受发表。