Farhi 积分用已知数学常数的表达

在题为“关于欧拉伽马函数的一个有趣公式”的文章中，Bakir Farhi 提出了一个开放性问题：是否有可能将 $$\boldsymbol{\eta}=2\int_0^1\log\Gamma(x)\,\cdot\sin(2\pi x)\,\mathrm{d}x=0.747768924\dots$$ 用已知数学常数（如 $\pi$、$\log\pi$、$\log 2$、$\Gamma(1/4)$、$e$ 等）来表达。在本工作中，我们证明 $$\boldsymbol{\eta}=\frac{1}{\pi}\left[\gamma+\log(2\pi)\right],$$ 其中 $\gamma$ 是通常的欧拉-马歇罗尼常数，并给出了两种不同的证明：第一种涉及格莱舍-金凯林常数，第二种基于 $\log\Gamma(x)$ 的马尔姆斯滕积分表示。所得公式也可以直接从 $\log\Gamma(x)$ 的傅里叶级数展开知识中获得。