Farhi常数及相关积分及其推广的闭式表达式

在最近的一项工作中，Farhi为函数 $\,\ln{\Gamma(x)}\,$ 在区间 $(0,1)$ 上推导了傅里叶级数展开，这使他能够为常数 $\,\eta := 2 \int_0^1{\ln{\Gamma(x)} \, \sin{(2 \pi x)} \, dx}$ 导出一个漂亮的公式。在那篇论文的结尾，他询问 $\eta$ 是否可以用其他已知的数学常数来表示。在本工作中，在为 $\eta$ 推导出一个简单的闭式表达式后，我展示了如何用它来计算其他相关积分以及某些对数级数，这使得可以将其推广为一个连续函数 $\eta(x)$, $x \in [0,1]$ 的形式。最后，从 $\,\ln{\Gamma(x)}$, $x \in (0,1)$ 的傅里叶级数展开出发，我利用帕塞瓦尔定理推导出 $\,\int_0^1{\ln^2{\Gamma(x)}~dx}$ 的闭式表达式。