Dedekind $\eta$ 函数的一些积分

设 $\eta$ 为权 $1/2$ 的 Dedekind 函数。本文给出 Glasser \cite{glasser2009} 积分 $\int_0^\infty f(x)\eta^n(ix)dx$（$n=1,3$）的统一与推广。同时给出了简单的积分不等式以及一些 $n=2,4,6,8,9,14$ 的实例。一个显著结果是 $$\int_0^\infty \eta^6 (ix)dx= \int_0^\infty x\eta^6 (ix)dx ={1 \over {8\pi}}\left({{\Gamma(1/4)} \over {\Gamma(3/4)}}\right)^2,$$ 其中 $\Gamma$ 为 Gamma 函数。积分 $\int_0^1 x^{-1} \ln x ~\eta(ix)dx$ 用第一 Stieltjes 常数 $\gamma_1(a)$ 的数对可约差表示。