伽马函数的一个精确近似公式

本文给出伽马函数的一个非常精确的近似：\begin{equation*} \Gamma \left( x+1\right) \thicksim \sqrt{2\pi x}\left( \dfrac{x}{e}\right) ^{x}\left( x\sinh \frac{1}{x}\right) ^{x/2}\exp \left( \frac{7}{324}\frac{1}{ x^{3}\left( 35x^{2}+33\right) }\right) =W_{2}\left( x\right) \end{equation*} 当 $x\rightarrow \infty$ 时，并证明函数 $x\mapsto \ln \Gamma \left( x+1\right) -\ln W_{2}\left( x\right)$ 从 $\left( 1,\infty \right)$ 到 $\left( 0,\beta \right)$ 是严格递减且凸的，其中 \begin{equation*} \beta =\frac{22\,025}{22\,032}-\ln \sqrt{2\pi \sinh 1}\approx 0.00002407. \end{equation*}