Gamma 函数对数的 Stirling 近似精确化

精确化是指从函数的完整渐近展开中获取其精确值的过程。本文完整推导了 Gamma 函数对数即 $\ln \Gamma(z)$ 的 Stirling 近似，它由标准主项和通常被截断的渐近级数组成。然而，为了获得 $\ln \Gamma(z)$ 的值，必须对余项进行正则化。随后应用了两种正则化技术：Borel 求和与 Mellin-Barnes (MB) 正则化。Borel 求和余项包含指数积分的无穷收敛和以及跨越 Stokes 扇区和直线的间断对数项，而 MB 正则化余项包含一个更易于计算的 MB 积分以及类似的对数项。MB 积分在重叠的收敛域内有效。因此，可以使用两种 MB 正则化渐近形式来计算 $\ln \Gamma(z)$。尽管必须截断 Borel 求和余项，但发现将所有余项与 (1) 截断的渐近级数、(2) Stirling 近似的主项以及 (3) 它们的对数项结合，均可得到相同的 $\ln \Gamma(z)$ 值。在少数精度下降的情况下，主要是由于截断参数的值过高，导致多余的十进制小数位被抵消。在可能的情况下，所有渐近形式均给出与 Mathematica 中 LogGamma 例程相同的值。