非线性系统的卡莱曼线性化及其有限截断近似

卡莱曼线性化是将有限维非线性动力系统提升为无限维线性系统的主流方法之一，其有望相较常规一阶线性化方法，在平衡点更大区域和更长时间范围内提供对原非线性系统的精确近似。提升系统的有限截断近似已被广泛用于研究原非线性系统的动力学与控制性质。在此背景下，一些悬而未决的问题是：确定在何种条件下，随着有限截断阶数（即截断长度）增大，有限截断格式所得近似线性系统的轨迹收敛于原非线性系统轨迹，以及收敛发生的时间区间能否被显式量化。本文中，我们给出有限截断近似的显式误差界，并证明该收敛关于有限截断阶数确实是指数级的。对一类非线性系统，表明可在直至无穷的整个时间范围内实现指数收敛。我们的结果在实际中合理可行，因为所提误差界估计可用于计算给定应用的适当截断长度，例如确定模型预测控制的适当采样周期与用于安全验证的可达性分析。我们通过若干说明性仿真验证了理论发现。