抛物型偏微分方程的 Carleman 线性化:适定性、收敛性与高效数值方法
数值分析
2025-10-02 v1 数值分析
摘要
我们探讨了如何将 Carleman 线性化的分析扩展到具有二次非线性的无限维 Hilbert 空间上的动力系统。在关于动力系统的适当假设下,我们证明了截断 Carleman 线性化的适定性与收敛性,这些假设涵盖了常见的抛物型半线性偏微分方程,如 Navier-Stokes 方程和非线性扩散-平流-反应方程。通过离散化,我们证明了线性化的总近似误差分解为两个独立的分量:离散化误差和线性化误差。这种分解给出了离散化线性化的收敛半径和收敛速率,且它们与离散化无关。因此,我们证明了将线性化应用于抛物型偏微分方程问题的合理性。此外,这促使我们采用非标准的利用结构的数值方法,如稀疏网格,以缓解与 Carleman 线性化相关的维数灾难。最后,我们通过数值实验验证了结果。
引用
@article{arxiv.2510.00722,
title = {Carleman Linearization of Parabolic PDEs: Well-posedness, convergence, and efficient numerical methods},
author = {Bernhard Heinzelreiter and John W. Pearson},
journal= {arXiv preprint arXiv:2510.00722},
year = {2025}
}
备注
32 pages