关于双曲型偏微分方程收敛阶的空间与时间特性

在本工作中，我们确定了双曲型偏微分方程（PDEs）全局截断误差的完整表达式。具体而言，我们利用理论分析与符号代数，求出通用全局截断误差各项系数的精确表达式。我们的分析适用于任意双曲型偏微分方程，无论线性或非线性，且空间上采用有限差分、有限体积或有限元离散，时间上采用属于线方法（Method of Lines）的预测-校正、多步或延迟校正法推进。此外，我们讨论了该分析的实际意义。若采用稳定数值格式，且全局解误差与全局截断误差的精度阶一致，我们得到如下渐近观察：(a) 在 $\Delta t$ 与 $\Delta x$ 之比恒定的情况下，收敛阶由空间与时间离散化阶的最小值决定；(b) 仅进行空间或仅进行时间加密时，甚至无法保证收敛。(a)的一个推论是：投资于阶数高于空间离散化的时间步进方法是不切实际的。除(b)外，我们证明在某些情形下，误差随仅空间或仅时间加密反而单调增大，并解释该现象成因。为验证理论发现，我们利用有限差分与有限体积空间离散以及预测-校正与多步时间步进方法，对线性和非线性平流方程进行收敛性研究。最后，我们研究斜率限制器与保单调策略对精度阶的影响。