使用求和守恒有限差分算子逼近双曲系统的解析谱

本文探讨了数值方法对具有变系数的双曲偏微分方程系统解析谱的逼近精度。我们特别关注离散方法准确发现物理不稳定性来源的能力。通过考虑线性化问题中出现的扰动方程，我们研究了其中低阶项可作为系统内部能量来源的系统。我们应用高阶准确的求和守恒有限差分算子，通过同时逼近技术对边界条件进行弱 enforcement，这导致具有严格稳定性且形式精度order为 $p = 2, 3, 4$ 和 $5$ 的数值离散化。我们采用拉普拉斯变换方法推导解析解，提供重要的真实答案以确保数值收敛于正确的理论速率。我们推导了解析谱，发现其随网格细化而更好地被捕获，尽管未能获得耗散严格稳定性（即离散问题的增长率被限制在分析值之上）。我们也发现，仅依赖网格细化可能是确定物理增长率的有害方式，因为某些特征值（在网格细化下持续存在）是基于空间精度order而产生的，但为非物理的。我们建议，当数值稳定性得到保证且数值谱的收敛性在网格细化和提高精度order两方面都得到证明时，应用于数值逼近谱。