利用 Lagrange 反演定理和 Faà di Bruno 公式估计 Gamma 函数的最小值

在本文中，我们使用 Lagrange 反演定理并两次应用 Faà di Bruno 公式，将 Gamma 函数 $\Gamma$ 的最小值表示为 Euler-Mascheroni 常数 $\gamma$ 的幂的展开式。该结果可以用 Riemann zeta 函数 $\zeta$ 在整数自变量处的值来表示，因为 digamma 函数 $\psi$ 在 $1$ 处的多重导数恰好与 zeta 函数成正比。前几项（至 $\gamma^6$）被提供以解决级数的收敛性。在 $3/2$ 处应用 Lagrange 反演定理可得到更精确的结果，尽管公式不够优雅，特别是因为 $3/2$ 处的 digamma 函数无法化简。