通过无穷积公式求解反tanh幂和的闭式表达式
综合数学
2026-03-04 v4
摘要
我们通过将这些求和与涉及伽玛函数的无穷积公式相联系，建立了对于所有整数k >= 2的无穷级数 sum from n=2 to infinity of arctanh(n^-k) 的闭式表达式。我们的方法使用对数变换、Fubini-Tonelli定理和Frullani积分定理。作为应用，我们推导了一个结构恒等式，将黎曼zeta函数zeta(k)与这些求和联系起来，建立了欧拉-马塞尔瓦尔常数gamma的一种新级数表示，并展示该表示通过zeta值得以指数收敛的改写形式。我们进一步证明了h(k) = sum from n=2 to infinity of arctanh(n^-k) 对于k严格递减且严格凸，同时给出明确的双侧界限和渐近展开式。这些闭式数值值的小数展开以及若干由这些恒等式产生的辅助序列在OEIS中均被列出。
引用
@article{arxiv.2602.06244,
title = {Closed-Form Evaluation of Arctanh Power Sums via Infinite Products},
author = {Ryan Goulden},
journal= {arXiv preprint arXiv:2602.06244},
year = {2026}
}
备注
22 pages, v2 removed ambiguity from theorem 1 proof, v3 Revised and expanded manuscript adding a discussion on the arithmetic properties of h(k) for natural k, v4 fixed incorrect OEIS reference for h(2) as well as a serious error in the Cantrell product formula