源自 Ramanujan 笔记本的某些积分

在其第三本笔记中，Ramanujan 声称 $$\int_0^\infty \frac{\cos(nx)}{x^2+1} \log x \,\mathrm{d} x + \frac{\pi}{2} \int_0^\infty \frac{\sin(nx)}{x^2+1} \mathrm{d} x = 0.$$ 在随后一行隐秘的文字中（该行仅在近期复制的 Ramanujan 笔记中才变得可见），Ramanujan 指出，如果将第一个积分中的 $\log x$ 替换为 $\log^2x$，并在第二个积分的被积函数中插入 $\log x$，则存在类似的关系。本文的目标之一是通过围道积分证明这一断言。我们进一步建立了将大类无穷积分联系起来的普遍定理，并通过若干例子加以说明。