一类无零点的二次多项式及其在 APN 函数中的应用

我们证明了在 $\gf_{2^{2k}}$ 上存在一类形式为 $F(x)=x^{2^{s}+1} + x^{2^{k+s}+2^k} + cx^{2^{k+s}+1} + c^{2^k}x^{2^k + 2^s} + \delta x^{2^{k}+1}$ 的无限族 APN 函数，其中 $k$ 为偶数且 $\gcd(2k,s)=1$，$3\nmid k$。这实际上是 Lilya Budaghyan 和 Claude Carlet 提出的 APN 函数族，他们在 \cite{carlet-1} 中证明，当存在 $c$ 使得多项式 $y^{2^s+1}+cy^{2^s}+c^{2^k}y+1=0$ 在域 $\gf_{2^{2k}}$ 中无解时，该函数即为 APN 函数。在 \cite{carlet-1} 中，他们通过计算机演示表明，在许多域上可以找到这样的元素 $c$，特别是当域的次数不能被 3 整除时。我们证明了当 $k$ 为偶数且 $3\nmid k$ 时，这样的 $c$ 存在（并解释了为何 $k$ 为奇数的情况仅重述了已有的 APN 函数族）。我们给出了这些系数的形式，以便写出该无限族 APN 函数。