关于 Budaghyan-Carlet APN 六项式的存在性

Budaghyan 和 Carlet 构造了一族定义在含 $r^2$ 个元素的域上的几乎完美非线性 (APN) 六项式，其项的次数为 $r+1, s+1, rs+1, rs+r, rs+s$ 和 $r+s$，其中 $r = 2^m$，$s = 2^n$ 且 $\text{GCD}(m,n)=1$。该构造需要一个技术条件，该条件已在有限数量的例子中通过经验验证。Bracken, Tan 和 Tan (arXiv:1110.3177 [cs.it]) 证明了当 $m \equiv 2$ 或 $4 \pmod 6$ 时该条件成立。在本文中，我们证明了对于所有 $m$ 和 $n$，Budaghyan 和 Carlet 的构造均产生 APN 多项式。在 $\text{GCD}(m,n) = k \ge 1$ 的情况下，Budaghyan 和 Carlet 表明，只要同样的技术条件成立，该六项式的非零导数是从 $F_{r^2}$ 到 $F_{r^2}$ 的 $2^k$-to-one 映射。我们证明了他们的构造对于所有 $m$ 和 $n$ 均产生具有此微分性质的六项式。