特殊多项式的零点及其对一类 APN 函数的影响

2021年，Calderini等人引入了一种在$\mathbb{F}_{2^{2m}}$上的 APN 函数的双变量构造形式$$f(x,y)=\big(xy,\, x^{2^r+1} + x^{2^{r+m/2}} y^{2^{m/2}} + bxy^{2^r} + cy^{2^r+1}\big),\quad r < m/2,\quad \gcd(r, m) = 1.$$他们证明，只要存在一个在$\mathbb{F}_{2^{2m}}$中无零点的多项式$$P_{c,b}(X)=(cX^{2^r +1} + b X^{2^r}+1)^{2^{m/2}+1}+X^{2^{m/2}+1},$$即可得到该族的 APN 函数。对于$m\le 6$可证明我们可以得到该族的 APN 函数。然而，迄今为止尚未知晓对于$m\ge 8$的这种类多项式的构造。本文我们通过应用来自有限域上代数varieties的技术，提供了该函数在$r<m/8-1$时的不存在性结果。特别地，对于$r=1$，我们指出Calderini等人的构造无法为$m\ge 8$提供 APN 函数。