素数平方阶域上的广义几乎完全非线性二项式与三项式

设 $p>3$ 为素数。我们证明，对于满足 $p \leq d \leq 2(p-1)$ 的每个整数 $d$，在 $\mathbb{F}_{p^2}$ 上存在代数次数为 $d$ 的广义几乎完全非线性（GAPN）二项式或三项式。我们首先推导出当 $G$ 的一项为 GAPN 时，函数 $G \colon \mathbb{F}_{p^2} \rightarrow \mathbb{F}_{p^2}, X \mapsto X^{d_1} + u X^{d_2}$ 为 GAPN 的充分条件。随后，我们给出了 $\mathbb{F}_{p^2}$ 上代数次数介于 $p$ 与 $2(p-1)$ 之间的任意奇数次 GAPN 二项式的显式构造，并且当 $p$ 不是 Mersenne 素数时，也给出了该范围内任意偶数次的构造。为了在一般情形下也能获得偶数代数次数的 GAPN 函数，我们最后利用 "{O}zbudak 和 S\u{a}l\u{a}gean 对特殊形式 GAPN 二项式的刻画，展示了如何通过应用该刻画来构造 $\mathbb{F}_{p^2}$ 上代数次数介于 $p$ 与 $2(p-1)$ 之间的任意偶数次 GAPN 三项式。我们构造的函数是目前文献中报道的首个奇特征扩域上具有偶数代数次数的 GAPN 函数。