求解 $GF{2^{4n}}$ 中的方程 $X^{2^{3n}+2^{2n}+2^{n}-1}+(X+1)^{2^{3n}+2^{2n}+2^{n}-1}=b$

本文确定了有限域 $GF{2^{4n}}$ 中方程 $x^{2^{3n}+2^{2n}+2^{n}-1}+(x+1)^{2^{3n}+2^{2n}+2^{n}-1}=b$ 的所有解。具体而言，我们显式确定了使得该方程对任意正整数 $i$ 有 $i$ 个解的 $b$ 的集合。这些依赖于解的个数 $i$ 的集合被显式给出并优美表达，运用了 $GF{2^{n}}$ 上的绝对迹函数、$GF{2^{4n}}$ 相对于 $GF{2^{n}}$ 的范函数，以及 $GF{2^{4n}}$ 中 $2^n+1$ 次单位根的集合。本文所考虑的方程源自 Budaghyan 等人 \cite{BCCDK20} 的文章。作为我们结果的直接推论，我们证明上述方程对一个 $b$ 值有 $2^{2n}$ 个解，对 $GF{2^{4n}}$ 中 $2^n$ 个 $b$ 值有 $2^{2n}-2^n$ 个解，并对所有其余点 $b$ 至多有两个解，从而完全证明了 Budaghyan 等人提出的猜想。我们指出，Li 等人近期在 \cite{Li-et-al-2020} 中的工作给出了 $F$ 的完整差分谱，并对 Budaghyan 等人的猜想给出了肯定回答。但我们强调，我们的方法不同于 Li 等人，是有趣且大有可为的。事实上，与他们的文章相反，我们的技术最终能够确定使所考虑方程有解的 $b$ 的集合，以及对任意 $b\in GF{2^{4n}}$ 该方程的解。