小上循环、精细环面纤维化以及两者皆无的 ${\mathbb Z}^2$ 子移位

继 Kellendonk 和 Putnam 早先的类似猜想之后，Giordano、Putnam 和 Skau 猜想：Cantor 集上的所有极小自由 ${\mathbb Z}^d$ 作用都承认“小上循环”。这些表示 $H^1$ 中的类，经 Ruelle-Sullivan (RS) 映射被映为 ${\mathbb R}^d$ 中的小向量。我们证明存在这样的 ${\mathbb Z}^d$ 作用：其中不存在此类小上循环，且 $H^1$ 在 RS 下的像为 ${\mathbb Z}^d$。我们的方法涉及平铺空间与形状变形，在此过程中我们证明了 RS 的像与“虚拟特征值”集合之间的关系，即那些在瓷砖形状和大小发生任意微小改变后成为平铺流拓扑特征值的 ${\mathbb R}^d$ 中的元素。