半直积在紧流形上的小 $C^1$ 作用

设 $T$ 是一个紧纤维化 $3$--流形，表示为紧可定向曲面 $S$ 以单值同胚 $\psi$ 为映射环面的形式，并设 $M$ 是一个紧黎曼流形。我们的主要结果是：若 $\psi$ 在 $H^1(S,\mathbb{R})$ 上诱导的作用 $\psi^*$ 在单位圆上无特征值，则存在平凡作用在 $\pi_1(T)$ 于 $M$ 上的 $C^1$ 作用空间中的一个邻域 $\mathcal U$，使得 $\mathcal{U}$ 中的任意作用都是交换的。我们将证明，在任意有限生成群 $H$ 的无限循环扩张的一般情形下，只要循环群在 $H^1(H,\mathbb{R})\neq 0$ 上的共轭作用没有模为 $1$ 的特征值，同样的结果成立。因此我们推广了 A. McCarthy 的一个结果，该结果处理了阿贝尔--乘--循环群作用于紧流形的情形。