非正曲率的闭流形上的紧群作用

A. Borel 证明,若有限群 $F$ 有效且连续地作用于具有无中心基本群 $\pi_1(M)$ 的闭非球面流形 $M$ 上,则称作曲abstract核的自然同态 $\psi$ 从 $F$ 到 $\pi_1(M)$ 的外自同构群 ${\rm Out} \pi_1(M)$ 是单射。本文研究在 $\pi_1(N)$ 具有非平凡中心的情形下,Borel 定理对于紧李群 $G$ 有效且光滑地作用于特定的可定向非球面流形 $N$ 上(该流形容许非正曲率的黎曼度量 $g_0$)在何种程度上成立。结果表明,若 $G$ 达到等于 Center $\pi_1(N)$ 的秩的最大维数且度量 $g_0$ 是实解析的,则 $G$ 中定义同伦于 $N$ 的恒等映射的微分同胚的任何元素必包含于 $G$ 的恒等分支 $G^0$ 中。此外,若 $\pi_1(N)$ 的内自同构群无挠,则相联的抽象核 $\psi: G/G^0\to {\rm Out} \pi_1(N)$ 是单射。在某些技术性假设下,同样的结果对不可定向的 $N$ 也成立。我们的结果是 Schoen-Yau (Topology, {\bf 18} (1979), 361-380) 关于调和映射的定理的一个应用。