基于叶状单形与对偶性的单纯体积

设 $M$ 为一个三角剖分的定向闭连通流形，其万有覆叠为 $\widetilde{M}\to M$，基本群为 $\Gamma=\pi_1(M)$，并考虑 $\Gamma$ 在标准 Borel 概率空间上的本质自由保测作用 $\Gamma\curvearrowright (X,\mu)$。我们研究了空间 $\Gamma\backslash(\widetilde{M}\times X)$，该空间配备了由 Sauer 定义的测度叶状结构以及在此设置下的奇异叶状单形理论。我们定义了其实奇异叶状同调，并将其与经典奇异同调进行了比较。特别地，我们构造了一个叶状基本类，并证明其范数与 $M$ 的单纯体积一致，从而将 Gromov 的思想形式化。转向对偶链复形，我们定义了奇异叶状有界上同调。当 $M$ 是非球面时，我们建立了一个与作用广群 $\Gamma\curvearrowright X$ 的可测有界上同调之间的等距同构。作为叶状对偶原理的一个推论，我们根据作用广群和/或其横截广群的可测有界上同调的消没，推导出了 $M$ 的单纯体积的消没准则。