单项理想的签名不变量

设 $I$ 为域 $K$ 上的多项式环 $R=K[x_1,\ldots,x_n]$ 中的一个单项理想，记其签名理想为 ${\rm sgn}(I)$。若 $I$ 非主理想，我们证明 $R/I$ 的深度等于 $R/{\rm sgn}(I)$ 的深度，且 $R/{\rm sgn}(I)$ 的正则性至多为 $R/I$ 的正则性。对于高度至少为 $2$ 的理想，我们证明 $I$ 与其签名 ${\rm sgn}(I)$ 的高度及其关联素理想相同，并且证明 $I$ 为 Cohen--Macaulay（或 Gorenstein）当且仅当 ${\rm sgn}(I)$ 为 Cohen--Macaulay（或 Gorenstein），进一步证明 ${\rm sgn}(I)$ 的 v-数至多为 $I$ 的 v-数。我们给出一个使用 \textit{Macaulay}$2$ 计算单项理想签名的算法，以及一个用于检查给定单项理想族的算法，通过计算其签名理想并确定其中哪些是 Cohen--Macaulay 或 Gorenstein。