有向根树路径理想的Cohen-Macaulay与Gorenstein性质

设 $R=k[x_{1},\ldots,x_{n}]$，其中 $k$ 是一个域。有向图 $G$ 的路径理想（长度为 $t\geq 2$）是一个单项理想，记为 $I_{t}(G)$，其生成元对应于 $G$ 中长度为 $t$ 的有向路径。设 $\Gamma$ 为一棵有向根树。我们刻画了所有此类其路径理想为不混合且Cohen-Macaulay的树。此外，我们证明 $R/I_{t}(\Gamma)$ 是Gorenstein的当且仅当 $I_{t}(\Gamma)$ 的Stanley-Reisner单纯复形是一个拟阵。