网络流的短时间存在性

本文包含平面上曲线网络曲率流短时间存在性的一个新证明。该流最初出现于冶金学并作为晶界演化的模型，后来由 Brakke \cite{Br} 用 varifold 方法处理。有充分理由通过直接 PDE 方法处理此问题，但这样做要求应对该 PDE 在网络顶点处的奇异性。Bronsard-Reitich \cite{BrRe}、Mantegazza-Novaga-Tortorelli \cite{MNT} 逐步在更一般的情形下处理了该问题，最终由 Ilmanen-Neves-Schulze \cite{INS} 在最一般的非正则网络情形中解决。尽管本文证明的结果与 \cite{INS} 中相似，此处方法提供了关于非正则网络如何“分解”为正则网络远更详尽的信息。两种方法都依赖于 \cite{MS} 中发现的自相似扩张解的存在性。作为主定理的前奏与说明，我们还证明了带边界流形上线性热方程混合 Cauchy-Dirichlet 边界问题的一个出乎意料的 regularity 结果。