具有局部退化Kelvin-Voigt阻尼的弦的尖锐稳定性

本文研究具有局部退化Kelvin–Voigt阻尼的弹性弦方程的渐近行为 $$u_{tt}(x,t)-[u_{x}(x,t)+b(x)u_{x,t}(x,t)]_{x}=0,\; x\in(-1,1),\; t>0,$$ 其中$b(x)=0$于$x\in (-1,0]$，$b(x)=x^\alpha>0$于$x\in (0,1)$，$\alpha\in(0,1)$。已知在极限情形$\alpha=0$时解的最优衰减率为$t^{-2}$，而在$\alpha\ge 1$时为指数衰减率。当$\alpha\in (0,1)$时，阻尼系数$b(x)$连续，但其导数在界面$x=0$处具有奇异性。此时已知最佳衰减率为$t^{-\frac{3-\alpha}{2(1-\alpha)}}$。尽管该速率在$\alpha=1$处与指数速率一致，但在$\alpha=0$处未能匹配最优速率。本文中，我们得到更尖锐的多项式衰减率$t^{-\frac{2-\alpha}{1-\alpha}}$。更重要的是，它在$\alpha=0$处与最优多项式衰减率一致，在$\alpha = 1$处与指数衰减率一致。这是朝最终获得最优衰减率目标迈出的一大步。