平面拟共形映射下 Hausdorff 测度畸变的尖锐例子与可去性

在关于拟共形映射面积畸变的著名论文中，Astala 展示了平面拟共形映射的最优面积畸变界和维数畸变估计。他提出了一个问题（问题 4.4）：是否存在更精细的结果，即 Hausdorff 测度在拟共形映射推前下的绝对连续性。这在 Astala、Clop、Mateu、Orobitg 与本文作者的合著论文（“Distortion of Hausdorff measures and improved Painlevé removability for bounded quasiregular mappings”, Duke Math J., 待出版 [ACMOU]）中，针对与可去性相关的一个特定情形得到了证明（定理 1.1），而其他情形仍未解决。我们在 [ACMOU] 中遗留的一个相关问题（问题 4.2）（该问题由 Astala 在 [ACMOU] 之前以等价形式通过私人通信向本文作者提出）是：K-拟正则映射的 BMO 可去性与 K-拟正则映射的 (L^∞) 可去性是否确实是不同的问题。本文给出了一系列例子，肯定地回答了 [ACMOU] 中的问题 4.2，同时证明了 [ACMOU] 中定理 1.1 在两个不同意义上的尖锐性，并且还给出了例子，这些例子同样可以证明，如果 Hausdorff 测度在拟共形映射推前下的绝对连续性得以证明，那么它在这两个不同意义上也是尖锐的。