曲线上卷的割线轨迹

给定曲线 $C$ 及其上的线性系统 $\ell$，割线轨迹 $V_e^{e-f}( \ell )$ 参数化满足对 $\ell$ 至多施加 $e-f$ 个条件的 $e$ 次有效除子。对秩为 $r$ 的向量丛 $E \to C$，我们定义行列式子概型 $H_e^{e-f} ( \ell ) \subseteq \mathrm{Hilb}^e ( \mathbb{P} E )$ 与 $Q_e^{e-f} (V) \subseteq \mathrm{Quot}^{0, e} ( E^* )$，它们推广了 $V_e^{e-f} ( \ell )$，并给出若干例子。我们描述了 $Q_e^{e-f} (V)$ 的 Zariski 切空间，并举例说明 $Q_e^{e-f} (V)$ 的光滑性未必由 Petri 映射的单射性控制。我们将 Abel–Jacobi 映射与线性序列概念推广至 Quot 概型语境。我们给出广义割线轨迹非空的若干充分条件，以及当 $f = 1$ 时借助 Segre 不变量 $s_1 (E)$ 的完整情形判据。这导出了类似于 arxiv:1812.00706 中半稳定性的几何刻画。利用这些思想，我们还部分回答了 Lange 关于 ${\mathcal O}_{\mathbb{P} E} (1)$ 极高性的疑问，并证明对任意曲线，当 $E$ 与 $V$ 充分一般时 $Q_e^{e-1} (V)$ 要么为空要么具有期望维数。当 $Q_e^{e-1} (V)$ 具有且达到期望维数零时，我们利用 Oprea–Pandharipande 与 Stark 的公式枚举 $Q_e^{e-1} (V)$。我们提及若干进一步研究的可能方向。