具有有限个 $\delta$-相互作用的薛定谔方程：解的闭式、积分与级数表示

本文给出了一维薛定谔方程具有限个 $\delta$-相互作用 $$\mathbf{L}_{q,\mathfrak{I}_{N}}y:=-y^{\prime\prime}+\left( q(x)+\sum _{k=1}^{N}\alpha_{k}\delta(x-x_{k})\right) y=\lambda y,\quad0<x<b,\;\lambda \in\mathbb{C}$$ 的闭式解，用未扰动方程 $$\mathbf{L}_{q}y:=-y^{\prime\prime}+q(x)y=\lambda y,\quad0<x<b,\;\lambda \in\mathbb{C}$$ 的解表示，并获得相应变换算子 $\mathbf{T}_{\mathfrak{I}_{N}}^{f}$，其形式为 Volterra 积分算子。借助谱参数幂级数方法，给出了变换算子在稠密集上像的实用构造，并证明算子 $\mathbf{T}_{\mathfrak{I}_{N}}^{f}$ 在 Sobolev 空间 $H^{2}$ 上将二阶导数变换为薛定谔算子 $\mathbf{L}_{q,\mathfrak{I}_{N}}$。发展了积分变换核的 Fourier-Legendre 级数表示，由此导出了解及其导数的新表示，形式为 Bessel 函数的 Neumann 级数。