关于势函数为分布导数且区间受限的 Schrödinger 方程的传递算子及其相关阻抗方程

我们提出了一种用于 Schrödinger 方程\n\n$-y'' + q(x)y = \lambda y, \quad x \in J, \ \lambda \in \mathbb{C}$\n\n的积分传递算子构造，其中 $q$ 为区间 $J \subset \mathbb{R}$ 上 $L^2$ 函数的分布导数。此类传递算子将 $v'' + \lambda v = 0$ 的解变换为 Schrödinger 方程的解。积分传递算子的构造基于对分布式 Schrödinger 方程的一种新型正则化，该正则化利用在 $J$ 的闭包上不为零的解 $f$ 进行 Polya 分解。我们证明了此类函数 $f$ 的存在性，并给出其计算的构造方法。根据 Polya 分解，我们获得了与 $f$ 相关的 Sturm-Liouville 算子阻抗形式下的积分-微分传递算子，并给出传递核的光滑性条件。此外，我们引入了针对 Schrödinger 算子和阻抗算子的 Darboux 变换，并描述了它们与相应传递算子之间的关系。最后，我们发展了若干级数表示，包括谱参数幂级数和球形贝塞尔函数的 Neumann 级数。